位相情報も含めた電圧・電流

実際のところ、位相も含めた電圧と電流は実数体で表現できます。つまり時間 、角周波数 、初期位相α、電圧振幅 E としたとき、時刻 t のときの電圧 v を表現するには

となります。この式は位相情報も完全に含んでいます。

ということで、位相を扱うには複素数が必須というわけではないわけで、なぜ複素数が必要なのかという気持ちになります。

しかし実数体で位相情報を含めて表現すると、上記のように三角関数を使うことになり、実際の計算はとても面倒になります。そこで、計算を便利にするために複素数の概念を入れます。

このとき使うのがオイラーの公式で、この場合、 三角関数が面倒なので指数関数にしてしまおう、そのためには電圧・電流表現を複素数体に拡大しよう、という感じのようです。

指数関数にするためにはこのような形式にする必要があるので、

と、電圧波形の式を複素形式にして (単に複素数部を付け加えているだけです。波形を表現するだけなら cos/sin はどっちがどっちでも良いので、オイラーの公式の形にあわせているだけです)

と指数関数に変換します。この形式で計算することで、オームの法則を使った普通の計算ができるようになって計算が楽になります。

例えばここでインピーダンスを考えると

e についている指数の割り算は指数同士の引き算になるので

指数の中を整理する

時間変数が消えてしまい、電圧と電流それぞれの初期位相 と の位相差によって決まる定数がかかっている状態になります。この定数をまたオイラーの公式で戻してみると

この Z はインピーダンスなので、実数部は抵抗成分、虚数部はリアクタンス成分となっています。

はすなわち位相差なので、電圧と電流の位相差の cos() と sin() が単純な E と I との比にかかって複素インピーダンスを構成していることになります。

で、複素電圧と複素電流の虚数部は何なの?

複素電圧と複素電流の虚数部は何なのかというと「なんでもない」が答えのようです (単体では初期位相と関係しますが)。というのも、電圧にしろ電流にしろ負荷との関係をもって「電圧と電流の位相差」が現われるので、負荷との関係を考えない状態での、単体の複素電圧・複素電流の虚数部は何の意味もないということです。

インピーダンスは定義からして「電圧と電流の比」という関係の表現ですから、この関係の中に位相差が表現されるのは自然なことです。