十分な画質

まずそもそも「十分な画質」とはなにかを考えないとどうしようもない。「十分な画質」について「隣あう画素同士の区別がつかない」として考えることにした。

一般的に印刷物では300dpi程度が必要と言われていたりするけど、根拠がよくわかっていなかった。Facebook でぶつぶつ呟いていたら、視力の定義から考えてみたらどうかとの話だったので、そこから考えることにした。

「視力は分単位で表した視角の逆数で表す。例えば、5mの距離から約1.45mmの切れ目を判別できると視力1.0となる」(Wikipedia) らしいので、とりあえず視力1.0のときに、ある距離において見分けられる最小の角度を求めた。

// 視力が `visualAcuity` のとき、見分けられる最小の角度 (radian)
// 視力の定義: 分単位で表した視角の逆数
// 視力 1.0 は 1.45444... 幅を5mの位置から見て識別できること
// console.log( 1 / (radiansToDegree(angleByDistanceAndSize(5000, 1.454444)) * 60), angleByDistanceAndSize(5000, 1.454444) );
// console.log( 1 / (radiansToDegree(angleByDistanceAndSize(10000, 1.454444)) * 60), angleByDistanceAndSize(10000, 1.454444) );
function angularSubtenseByVisualAcuity (visualAcuity) {
	if (!visualAcuity) visualAcuity = 1;
	return angleByDistanceAndSize(5000, 1.454444) / visualAcuity;
}

これで特定の距離のときにどれぐらい目で見分けられるかがわかるので、これを元に特定の距離のときにどれぐらい dpi が必要かを求められる。

// `visualAcuity` の視力を持つ人について、`distance` (mm) 離れた距離にある印刷物に求められる最低の dpi
function dpiByDistanceAndVisualAcuity (distance, visualAcuity) {
	return 25.4 / sizeByDistanceAndAngle(distance, angularSubtenseByVisualAcuity(visualAcuity));
}

最大出力サイズ

必要な dpi が求まれば、あとはカメラが撮影可能な画素数にかかってくる。

var pixels = {
	width: 5616,
	height: 3744
};

// 視力 1.0 の人が 50cm の距離で見たとき、ドットの見分けがつかない限りで最大の印刷サイズ
console.log(pixels.width / dpiByDistanceAndVisualAcuity(500, 1.0) * 25.4, 'mm');
//=> 816.8157504 'mm'

// 視力 1.5 の人が 100cm の距離で見たとき、ドットの見分けがつかない限りで最大の印刷サイズ
// 大きく印刷するほど近付いてみる余地が生まれるので、より要求される画質があがると仮定
console.log(pixels.width / dpiByDistanceAndVisualAcuity(1000, 1.5) * 25.4, 'mm');
//=> 1089.087662933585 'mm'

5616×3744は 5D Mark II の場合だけど、最近の高スペックデジカメだとこんなものっぽい。

こうしてみると紙の規格的にはA0がギリギリ限界ぐらいになりそうに思う。

出力サイズにおいてパースが自然な焦点距離

ついでにこれまでのの組合せで、最大限画質を考慮して拡大しつつパースが正しくなる最小の焦点距離を求めた。これは単にカメラの性能と、人間の目の性能によって決まる。

// 視力 1.5 の人について、最大限画質を考慮して拡大しつつパースが正しくなる最小の焦点距離
// 1000mm の位置を仮定してるが、これは距離が変わっても一緒
console.log(~~angleToFocalLength(36, angleByDistanceAndSize(1000, pixels.width / dpiByDistanceAndVisualAcuity(1000, 1.5) * 25.4)), 'mm');
//=> 33 'mm'
// 視力 1.0
console.log(~~angleToFocalLength(36, angleByDistanceAndSize(1000, pixels.width / dpiByDistanceAndVisualAcuity(1000, 1.0) * 25.4)), 'mm');
//=> 22 'mm'

安全圏に収めるなら 35mm だろうし、多少画質を犠牲にしても広く見せたいなら 20mm ぐらいまでいいんじゃないか、という感じになった。

いろいろ間違っているかもしれないのであんまり信用しないでください (特に視力から必要DPIを出すあたりがあやしい気がする)

結論

一般的な鑑賞環境において、パースが自然、すなわち肉眼で見るパースとほぼ同じであること

前提

写真のパースは、一般的に説明するときには、焦点距離によって変化して、広角では遠近感が強調され、望遠では圧縮される、とされているが、厳密にはこれだけだと説明が不十分である。焦点距離の違いは、単に画像をどの大きさで (すなわち画角で) トリミングするかの違いでしかない。これは、無限の解像度を持つカメラと、無限の解像度を持ち収差のない超広角レンズさえあれば、後処理でトリミングすればいいだけなので、それ以上長い焦点距離のレンズなどいらないということを意味する。本質的に、レンズはパースを変化させない。

ではどこでパースの変化が起きるかというと、それは鑑賞環境、つまり出力サイズ (プリントサイズ) と、鑑賞者までの距離になってくる。もし広角レンズ、例えば17mmで撮影したとしても、2m 幅でそれをプリントしたものを、1m の距離から見れば、肉眼で見た場合のパースと同じになる。あくまで、あの強調されたパースは狭い出力サイズに無理矢理画像をつめこむから生まれている。カメラのファインダーの像の大きさというのも固定なので、レンズを変えるとパースが変化したように見える。

疑問

レンズ自体にパースの変化がないのに「標準レンズはパースが自然」というのはおかしい。どんな画角であろうと、出力サイズと鑑賞位置が「正しい」ければ、パースは自然になるはずである。

であるなら、出力サイズと鑑賞位置が暗黙のうちに決定されているのではないか

検証

とりあえずイメージできるように焦点距離から画角を求められるようにする。 Wikipediaによると、焦点距離からの画角は以下で求められる (JavaScript の式になおしてある)

// `size` (mm) サイズの素子で、焦点距離が `f` (mm) のときの画角 (radian)
function angleOfView (size, f) {
	return 2 * Math.atan(size / (2 * f));
}

例えば、35mm フルサイズで 50mm の焦点距離を持つレンズを使った場合、水平画角は angleOfView(36, 50) で求められる (JS の三角関数との兼ね合いで表示時以外はラジアンで表現) この場合だと、39.6度ぐらいになる。

// 一応ラジアン変換
function radiansToDegree (radian) {
	return radian * (180 / Math.PI);
}

function degreeToRadians (degree) {
	return degree * (Math.PI / 180);
}

この状態で撮影した写真を、同じ画角だけ占有するように出力サイズと鑑賞位置を調整するようにすれば、パースは崩れないことになる。

なので、以下のような関数を考える (鑑賞者が点・占有物を面にしたとき、面側に直角がくる直角三角形が2つ並ぶイメージ)。

// `distance` (mm) 離れた距離にある `size` (mm) のものが視野を占有する画角 (radian)
function angleByDistanceAndSize (distance, size) {
	var half = size / 2;
	return Math.atan(half / distance) * 2;
}

これを使うと、「30cm の距離で A4用紙を見る場合に占有される水平画角」は angleByDistanceAndSize(300, 297) で求められる (52度ぐらい)

52度の画角を持つレンズの焦点距離を求めると、「30cm の距離の A4用紙にプリントした場合にパースがぴったりになる焦点距離」が求められるはずなので、以下のような関数を定義した (angleOfView の逆関数)

// `size` (mm) サイズの素子で、画角が `angle` (radian) のときの焦点距離 (mm)
function angleToFocalLength (size, angle) {
	var a = Math.tan(angle / 2);
	return size / a / 2;
}

angleToFocalLength(36, angleByDistanceAndSize(300, 297)) とすれば、「30cm の距離の A4用紙にプリントした場合にパースがぴったりになる焦点距離」として 36mm が求められる。すなわちこの鑑賞環境の場合、36mm で撮影した写真だと、パースが最も自然になる。

同じように、一般的な鑑賞環境を想像して、最も自然なパースになる焦点距離がいくつかを求めてみる。

// 20cm で L版 (スナップ写真を自宅で見る)
angleToFocalLength(36, angleByDistanceAndSize(200, 127)) //=> 56mm

// 30cm で A4 (ちょっと大きめに出力したものを手元で見る)
angleToFocalLength(36, angleByDistanceAndSize(300, 297)) //=> 36mm

// 50cm で A3 (ちょっと大きめに出力したものを手元で見る)
angleToFocalLength(36, angleByDistanceAndSize(500, 420)) //=> 42mm

// 100cm で A3 (写真展みたいなところでちょっと離れて見る)
angleToFocalLength(36, angleByDistanceAndSize(1000, 420)) //=> 85mm

// 倍率0.71倍のファインダー
50 / 0.71 //=> 70mm
( angleToFocalLength(36, angleByDistanceAndSize(x, sizeByDistanceAndAngle(x, angleOfView(36, 50)) * 0.71)) )

と、だいたい標準と呼ばれるような焦点距離におさまってる。つまり、このような鑑賞環境においては「標準レンズ」と呼ばれるものを使っておくと、パースが自然に見える。

ちなみに魚眼レンズは、画像の作りかたが人間の眼とは違うので上記のルールには全くあてはまらない。angleOfView の式もあてはまらない (もっと広く写るように設計されてる)