前にちょっと書いたけど、水晶発振子のモデル化のための測定についてもうちょっと詳しく書いておく

LCRメータでCpを測る

Cp=1.95pF @100kHz

VNA で測ってもいいけどキャリブレーションが面倒なのでLCRメータを使うのが楽 (値が小さいのでLCRメータでもキャリブレーションはすること)

VNAでfs/fp/Rsを測る

fs/fp


VNA のポート1ポート2に直列で水晶発振子を繋いで、共振周波数付近をさがす。最もゲインが大きいところがfsで、小さいところがfpになる。

fs=9.9985Mhz
fp=10.0126Mhz

Rs

VNAのポート1に水晶発振子を繋いで、直列共振周波数 (fs) 付近で測る。fs 付近だと(共振しているので)水晶が純抵抗に近くなり精度が高くなる。

Rs=12.8Ω

Cs/L を求める

以下のように Cs L を求める

f_s = 9.9985
f_p = 10.0126
R = 12.8
C_p = 1.95e-12

C_s = C_p * ( (f_p**2) / (f_s**2) - 1)
L = 1 / (4 * (Math.PI ** 2) * (f_s ** 2) * C_s)
console.log({C_s, L}); //=> { C_s: 5.503702932046284e-15, L: 0.04603790760936647 }

LTSpice でモデル化してみる

求められた R/Cp/Cs/L を使って等価回路を作り、周波数特性を見てみる。

LTSpice の結果は信号源の出力に対する比なので、負荷の電圧を見る場合にVNAとスケールをあわせるには2倍 (電圧 +6dB) する。

  • LTSpice: -1.04dB
  • VNA実測: -1.31dB

ダイナミックレンジの関係で並列共振周波数の値は参考にしかならない。

ref

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  2. tech
  3. 水晶発振子のモデル化

ケーブルのLCを直接測る

伝送路の損失を無視した場合、特性インピーダンス

であるため、直接ケーブルのLとCを計測してやる。


例:50Ωの基準点に75Ωケーブルを単純な変換コネクタを使って接続している。ケーブルインピーダンスは10MHzでの値が規定されていることが多い?ようなので 10MHz で SPAN 0 にし、スミスチャートを表示させている。

  • オープンの場合 139pF
    • オープンはケーブルの芯線とGND間の静電容量を測っている
  • ショートの場合 736nH
    • ショートは芯線とGNDによるインダクタンスを測っている
Math.sqrt(736e-9 / 139e-12) //=> 72.7665034804956

集中定数とみなせる範囲でできるだけ長いケーブルでやるべきとのこと。10MHz の波長は 30m なので、その1/10での 3m 程度で計測するのが正しいらしい。長すぎると集中定数とみなせず、短かすぎると誤差が多くなる。

欠点

  • 基準点に直結できる必要がある
  • 精度が良くないらしい (50Ωから離れたところを計測するので)

λ/8 法

やりかたと例


  1. オープンケーブルを繋ぐ
  2. リアクタンスが0になる最初の周波数をさがす → 28.24MHz
    • スミスチャート的にはX軸と交わるところを探す
  3. 得られた周波数のさらに半分の周波数を計測する → 14.1MHz
  4. リアクタンスを読んで絶対値をみる → -71.6Ω → 71.6Ω (ショートさせたほうが正確らしい?)

欠点

  • 基準点に直結できる必要がある

利点

  • 比較的正確?

原理

伝送路の損失を無視した場合、伝送路の特性インピーダンス と入力インピーダンス には を伝送路の電気長、 を負荷インピーダンスとすると以下のような関係がある

は波数

特に伝送路端がオープン ( ) の場合

ショート( ) の場合

オープンの場合で電気長 の場合、

ということでこのようなケースの場合は入力インピーダンスの虚部が特性インピーダンスと一致する。

伝送速度 のとき周波数 なので、測定したいケーブルの長さを固定とすると周波数をうまく選んであげれば良いことになる。

ところで、電気長が の伝送路(オープン)は共振を起こす、つまりリアクタンスがゼロになる。共振点を探すのは周波数領域では簡単なので、まずこの共振点を探し、さらに周波数を半分にすることで電気長 の条件を達成できる。

TDR

直読できる

欠点

  • 基準点から計測点までのケーブル損失によって誤差がでる
  • 多重反射の影響をうける

利点

  • グラフと現実が一致するのでわかりやすい
  • 余計な操作がいらない

参考文献

  1. トップ
  2. tech
  3. VNA によるケーブル特性インピーダンス測定

  • DC外挿してないけどなんで?
  • どのぐらい誤差がでる?

DC外挿とは?

VNA で負の周波数まで拡張して時間領域変換する場合、DC値も計算対象に含むが、VNA はDC値は測定できないため、推定値をいれてあげる (外挿する) 必要がある。

上の図はローパスモードの処理対象の概念図で、DC〜開始周波数までのデータポイントが抜けていることを説明している。

外挿の方法

  • 周波数ステップの延長上に0Hzがくるように調整
  • DC付近の数点から0Hzを推定

推定は簡単にいえば最低周波数が計測ステップ数と同じでなくてはならないということになる。

50kHz〜1.5GHz で計測するなら、1.5e9 / 50e3 = 30000点を計測ステップにしないといけない。がこれはさすがに計測点が多すぎて時間がかかるので、最低周波数を上げる必要がある。しかし最低周波数を上げてしまうとDC推定が困難になるという問題がある。

反射係数の応答は周波数ドメインでは振動している。周波数ステップが広すぎると、直近 n 個が増加傾向だからといって、次のステップでも同じように増加するとはあまりいえず、推定をはずすことが多くなる。なので、最低周波数は上げたくない。

1パスでの処理を諦めて、最低周波数付近だけを先にサンプリングして処理する方法も考えられる。VNA の下限周波数が 50kHz なら、50kHz、100kHz、150kHz を計測してDC推定し、3つの実測値は捨てる。そして測定開始周波数を最大周波数 / 計測点数にセットして全体をスキャンする。こうすればDC値と連続した計測点(n+1)がつくれる。

外挿の方法は自体は単純に、直近 3 個の増減の平均をとり、最初の点から線を延長する形でやるのがよさそうだ。

            nn = np.mean(np.diff(x[0:3]))
            dc = x[0] - nn
            data[0] = dc

NanoVNA では DC外挿してない?

NanoVNA は組み込みだと 101 点計測。これだけの値でDC値を推定しようとすると、周波数ステップが広すぎてうまくいかない。前述のように2パスで処理するとか工夫がいりそうで、これをやるには若干めんどうな設計変更がいる気がする。

外挿しないというのは最低周波数の値 (50kHzとか) をDC値としてそのまま採用しているということで、IFFT 時の周波数ステップには実質的に誤差が生じていることになる。低い周波数ほど誤差が大きく、全域の平均誤差は25kHz。

どのぐらい誤差がでる?

周波数誤差が時間領域でどのぐらい影響するのかの理論値はどう計算すればいいかよくわからないので、実験的に比較してみる。

  • 最大周波数 1.5GHz
  • 窓関数なし
  • 測定点 500 点
  • 測定対象は50cmぐらいの50Ω同軸ケーブルのS11

DC外挿する場合は IFFT の有効なデータ点数は 1001 点、しない場合は 999点 (測定点の最初をDCとして折り返すので)

DC外挿する

python を使って2パスで処理させてみる。前述のように 50kHz、100kHz、150kHz を計測してDC推定し、3MHz〜1.5GHz を 500 ポイント測定した結果に挿入する。実装は python/nanovna.py を変更する形で行なった。変更点

以下の3つのグラフは上から「DC付近の拡大 (周波数ドメイン)」「DC〜200MHzまで切り取り (周波数ドメイン)」「IFFT して積分したステップ応答(時間ドメイン)」

一番上のグラフにはDC外挿のために参照する3つの測定点(+マーカー)と、外挿されたDCの値(☆マーカー)を表示している。

二番目のグラフはもう少し広い範囲を表示している。このグラフは外挿されたDC値を含む

(ちなみに101点でも別にそれほど変化はない)

ちょっと長いが一応グラフ出す手順を書いておく

        dcExtrapolation = True
        port = 0

        if dcExtrapolation:
            print("start:%d stop:%d points:%d" % (self.frequencies[0], self.frequencies[-1], self.points))
            nv.set_frequencies(int(self.frequencies[-1] / opt.points), opt.stop, opt.points)
            print("start:%d stop:%d points:%d" % (self.frequencies[0], self.frequencies[-1], self.points))

        data = nv.scan()
        x = data[port]
        # window = np.kaiser(len(x) * 2, 6.0)
        # x *= window[len(x):]
        nh = len(x) * 2
        NFFT = 2**(len(str(bin(nh)[2:])))
        print("num: %d, NFFT: %d" % (nh, NFFT))
        data = np.zeros(NFFT, dtype='complex128')

        fig = pl.figure(figsize=(8,10), dpi=100)

        ax1 = fig.add_subplot(3, 1, 1)
        ax1.set_ylim(-1.2, +1.2)
        ax1.set_xlim(0, 200e3)
        ax1.xaxis.set_major_formatter(EngFormatter(unit='Hz'))

        ax2 = fig.add_subplot(3, 1, 2)
        ax2.set_ylim(-1.2, +1.2)
        ax2.set_xlim(0, 200e6)
        ax2.xaxis.set_major_formatter(EngFormatter(unit='Hz'))

        ax3 = fig.add_subplot(3, 1, 3)
        ax3.set_ylim(-1.2, +1.2)
        ax3.set_xlim(0, 20e-9)
        ax3.axhline(y=0, color='grey')
        ax3.xaxis.set_major_formatter(EngFormatter(unit='s'))

        if dcExtrapolation:
            # DC extrapolation

            ## get vna lowest freq data 50kHz 100kHz 150kHz
            _start = self.frequencies[0]
            _end   = self.frequencies[-1]
            _points = self.points
            nv.set_frequencies(50e3, 50e3 * 3, 3)
            print(self.frequencies)
            expdata = np.array(nv.scan()[port])
            ax1.plot(self.frequencies, expdata.real[0:3], marker="+", label="measured real", markersize=10)
            ax1.plot(self.frequencies, expdata.imag[0:3], marker="+", label="measured imag", markersize=10)
            # restore
            nv.set_frequencies(_start, _end, _points)

            ## extrapolate from lowest 3 data points
            di = np.diff(expdata[0:3])
            print(di)
            nn = np.mean(di)
            dc = expdata[0] - nn
            ax1.plot([0], dc.real, marker="*", label="extrapolated real", markersize=10)
            ax1.plot([0], dc.imag, marker="*", label="extrapolated imag", markersize=10)

            # negative freq
            data[-len(x):] = np.conjugate(x)[::-1]
            # positive freq
            data[1:len(x)+1] = x
            ## data[0] is dc term
            data[0] = dc
        else:
            # dc + positive freq
            data[0:len(x)] = x
            # negative freq
            data[-len(x)+1:] = np.conjugate(x)[1:][::-1]

        step = self.frequencies[1] - self.frequencies[0]
        xaxis = np.concatenate([
            np.linspace(0, step * NFFT / 2, int(NFFT / 2)),
            np.linspace(-step * NFFT / 2, 0, int(NFFT / 2), endpoint=False)
            ])

        ax1.plot(xaxis, data.real, marker=".", color="lightgrey", label="real")
        ax1.plot(xaxis, data.imag, marker=".", color="lightgrey", label="imag")
        ax2.plot(xaxis, data.real, marker=".", label="real")
        ax2.plot(xaxis, data.imag, marker=".", label="imag")

        td = np.real(np.fft.ifft(data, NFFT))
        step = td.cumsum()
        print(self.frequencies[1] - self.frequencies[0])
        time = 1 / (self.frequencies[1] - self.frequencies[0])
        t_axis = np.linspace(0, time, NFFT)

        ax3.plot(t_axis, step, label="step response")
        # ax3.plot(t_axis, td,label="impulse response")

        ax1.legend( loc = 'lower right')
        ax2.legend( loc = 'lower right')
        ax3.legend( loc = 'lower right')

DC外挿しない

外挿しないので一番上のグラフには何も描かれていない。

単純に開始周波数を 50kHz として、その値をそのままDC値として利用する。イメージとしては中央のグラフが本来あるべきものより左に少しずつずれている。終了周波数は一緒

なお開始周波数を 500kHz 5MHz 10MHz と段階的に上げていくと以下のように崩れていく。

比較

別々に見ても違いがわからないので、外挿したケースと外挿せず50kHzをDCとみなすものの重ねあわせている。

確かに 50kHz と DC外挿をちゃんとやる場合とで若干差がみえる。が、-1 〜 +1 の範囲で見ている限りはかなり分かりにくい。

雑感

現行の実機の実装に正確なDC外挿を入れるのはけっこうやっかいなのと、実質的な使われかたは絶対的な数値というよりも相対的な変化地点の発見なので、がんばってやる価値があるかはちょっと微妙だなあという印象。何かもっと影響を受けやすいDUTがあれば違うのかも。

参考資料

日本語での文献がほとんどなく、英語でも実際にどうやってDC外挿を行なうべきかの資料はあまりないので結構こまった。VNAのマニュアルやアプリケーションノートのおかげである程度理解できた。

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  2. tech
  3. NanoVNA の時間領域測定 (TDR/TDT) ローパスモードのDC外挿