複素インピーダンスの場合、実数部は抵抗成分・虚数部はリアクタンス成分とわかれているので、イメージしやすいですが、電圧と電流の虚数部とは何なのでしょうか? と疑問に思ったので考えた結果をメモしておきます。

位相情報も含めた電圧・電流

実際のところ、位相も含めた電圧と電流は実数体で表現できます。つまり時間 、角周波数 、初期位相α、電圧振幅 E としたとき、時刻 t のときの電圧 v を表現するには

となります。この式は位相情報も完全に含んでいます。

ということで、位相を扱うには複素数が必須というわけではないわけで、なぜ複素数が必要なのかという気持ちになります。

しかし実数体で位相情報を含めて表現すると、上記のように三角関数を使うことになり、実際の計算はとても面倒になります。そこで、計算を便利にするために複素数の概念を入れます。

このとき使うのがオイラーの公式で、この場合、 三角関数が面倒なので指数関数にしてしまおう、そのためには電圧・電流表現を複素数体に拡大しよう、という感じのようです。

指数関数にするためにはこのような形式にする必要があるので、

と、電圧波形の式を複素形式にして (単に複素数部を付け加えているだけです。波形を表現するだけなら cos/sin はどっちがどっちでも良いので、オイラーの公式の形にあわせているだけです)

と指数関数に変換します。この形式で計算することで、オームの法則を使った普通の計算ができるようになって計算が楽になります。

例えばここでインピーダンスを考えると

e についている指数の割り算は指数同士の引き算になるので

指数の中を整理する

時間変数が消えてしまい、電圧と電流それぞれの初期位相 の位相差によって決まる定数がかかっている状態になります。この定数をまたオイラーの公式で戻してみると

この Z はインピーダンスなので、実数部は抵抗成分、虚数部はリアクタンス成分となっています。

はすなわち位相差なので、電圧と電流の位相差の cos() と sin() が単純な E と I との比にかかって複素インピーダンスを構成していることになります。

で、複素電圧と複素電流の虚数部は何なの?

複素電圧と複素電流の虚数部は何なのかというと「なんでもない」が答えのようです。というのも、電圧にしろ電流にしろ負荷との関係をもって「電圧と電流の位相差」が現われるので、負荷との関係を考えない状態での、単体の複素電圧・複素電流の虚数部は何の意味もないということです。

インピーダンスは定義からして「電圧と電流の比」という関係の表現ですから、この関係の中に位相差が表現されるのは自然なことです。

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オイラーの公式とは一生無縁だと思っていた

げんきの絵本 おかあさんといっしょ かぞえてんぐ はって はがせる シールえほん -

3.0 / 5.0

横山だいすけおにいさんは「かぞえてんぐ」をやってるときが一番キてる(キてるとしか言いようがない)と思うので、一番かぞえてんぐが面白い。

「かぞえてんぐ」は数を数えたくて数えたくて辛抱たまらん!というキャラなのだけど、数えおわったあと絶頂とともにいきりたったところから「何か」が出てくる。

つまり数フェチで、周囲を巻き込んで数を数えるというオナニーをしたうえ絶頂するという完全なる変態である。NHK で放送されていいものなのか不思議なぐらいの変態なんだけど、実績からすると合法っぽいので、汚れちまった人間にだけ変態に見えるということなのかもしれない。

http://www.rigexpert.com/index?s=articles&f=aas で紹介されている回路を一通り自分の中で整理してまとめました。詳しい動作は今まで書いた各エントリにして、ここではそれぞれの特徴を書いてみます。

「アンテナアナライザー」と書いていますが、これをさらに発展させて入出力ポート両方で測定するようにすればネットワークアナライザになるはずです。

ダイオードディテクタ

  • ダイオードで検波するので、小電力時の非直線性が問題になり (誤差が多い) キャリブレーションが必要になる

抵抗1本タイプ

[tech] アンテナアナライザの回路 シリーズ抵抗1本型 | Tue, Mar 1. 2016 - 氾濫原

入力電圧・負荷電圧・負荷電流

  • 回路が簡単
  • 電流検出部で小さな電圧を測ることになる
  • リアクタンスの符号は不明

ブリッジタイプ

[tech] アンテナアナライザの回路 ブリッジ型 | Tue, Mar 1. 2016 - 氾濫原

入力電圧・負荷電圧・負荷電流・平衡電圧

  • 電圧反射係数を別途測っているので、SWR の精度があがる (特に1.0付近)
  • リアクタンスの符号は不明

ログアンプ検波

[tech] アンテナアナライザの回路 - ブリッジの三つの電位差を測るタイプ | Thu, Mar 3. 2016 - 氾濫原

AD8307 を使って検波するタイプ。

入力電圧・負荷電圧・平衡電圧

  • キャリブレーション不要
  • 差動接続のためブリッジの平衡部に直結できる
  • リアクタンスの符号は不明

ログアンプ+位相検出

[tech] アンテナアナライザの回路 ー 位相検出器を使ったタイプ | Fri, Mar 4. 2016 - 氾濫原

AD8302 (ログアンプ+位相差) を使って検波するタイプ

方向性結合器 複素電圧反射係数

  • キャリブレーション不要
  • 移相器を使うものは移相器の調整が必要だがリアクタンスの符号がわかる

複素入力電圧・複素負荷電圧

  • キャリブレーション不要
  • リアクタンスの符号がわかる
  • DDS が2台必要

ヘテロダイン系

[tech] アンテナアナライザの回路 ー ヘテロダインを使ったタイプ | Fri, Mar 4. 2016 - 氾濫原

  • より高い周波数を扱う場合に検討の余地あり
  • 回路はより複雑
  • DSPが必要

雑感

ダイオードディテクタを使う場合、現実的には後段にオペアンプによるバッファ回路を検出電圧分だけつける必要があり、部品数がかなり増加する。

AD8307 で検波する場合、ほかの部品は殆どいらずMCUなどのADCに接続できる。しかも精度が高い。アナログ部分が格段に少なくなるので設計しやすい。値段が高いのだけが問題。

AD8302 で検波する場合、リアクタンス符号がわかるのが嬉しい。しかし AD8302 はかなり高い。そしてDDSも2台必要。

作るなら

これまでを踏まえて、〜50MHz ぐらいまでを対象に、コスト的にそこそこで楽に作れてよさそうというのは AD8307 とブリッジを使うタイプだと思う。

コストをもう少しかけていいのなら、AD8302 + DDS2台 も十分に簡単な回路で作りやすそう。リアクタンスの符号まで知りたいならこれが一番簡単そうに思う。


リアクタンスの符号までわからなくても、現実的にはあまり問題にならないことのほうが多そう。アンテナの調整を目的とする場合リアクタンスは「同調しているかどうか」の判断に使うなら符号はいらないし、調整してリアクタンスが増えるか減るかでも符号を推測できる。

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AD8302 (ログアンプ+位相検出器) を使った系です。

方向性結合器の出力を AD8302 に直接入れるタイプ

http://www.rigexpert.com/index?s=articles&f=aas

方向性結合器から進行波と反射波をとりだし、それを直接AD8302に入れるタイプのものです。

AD8302 にはログアンプであるとともに、2信号間の0〜180度の位相差の測定もできます。

位相差も測っているからリアクタンスも符号もわかると言いたいところですが、AD8302 の位相差は基準に対し0〜180度なので、この構成だと符号の区別はつきません。

AD8302 は AD8307 よりもさらに高価 (AD8302 はログアンプが2個と位相検出器が入っているので当然ですが) なので、リアクタンスの符号がわからないのはかなり残念な構成だと思います。正直、AD8302 を使って実装する価値はなさそうです。

計算

測定値として電圧反射係数 Γ の絶対値と位相角度 α がわかります。ということで反射係数の実部と虚部は簡単に求められます。

Γと伝送路インピーダンス・負荷インピーダンスの関係は


分母を有理化しつつ R + j X の形になるように (rectform()) していきます

ということで の形になったので R と X はそれぞれ

となります。計算上 X の符号は失われていませんが、そもそも最初の位相が正しかとれていないので符号がわかりません。

方向性結合器の出力の進行波側の位相を90度シフトしてから AD8302 に入れるタイプ

http://www.rigexpert.com/index?s=articles&f=aas

基準となる進行波の位相をフェーズシフターで90度進めることで、AD8302 の位相検出範囲を -90〜+90度にし、リアクタンス符号を計れるようにしたタイプです。

負荷インピーダンス自体は直接入れるタイプと同じように計算できます。こちらは符号が有効に出てきます。

広い周波数で正確にフェーズシフターを動かすのが難しいところだと思います。

抵抗ブリッジのリファレンス電圧と負荷電圧を計るタイプ

http://www.rigexpert.com/index?s=articles&f=aas

ブリッジのリファレンス複素電圧と、負荷の複素電圧を計るタイプです。AD8302 の片方には90度位相シフトした元の波形を入力し、位相検出範囲を -90〜+90度 にしています。

位相シフトした基準信号はDDSで作ります。つまりブリッジ入力用の信号源と、基準信号用の信号源とで DDS が2台必要です。しかし DDS なので広い周波数で正確な90度信号を作りだせます。

調整がいらないのが最大のメリットだと思います。

反射係数を直接測っておらず、基準電圧と負荷電圧を測っています。

E_{LOAD} と E_{REF} の絶対値と角度がわかっているので

電圧反射係数 Γ は

あとは上記の複素電圧反射係数から R と X を求める形でいけそうです。

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ヘテロダイン(周波数変換)を使ったタイプ

http://www.rigexpert.com/index?s=articles&f=aas

この方法の利点は信号を選択できることで、矩形波の高調波も信号源とできることだと思われます。つまり低い周波数しか発振できなくても、高調波を使うことで広い周波数を測定できます。

アンテナの入力に適当な信号を入力し、測定したい周波数 + f の周波数を出力に合成して、低い周波数 (中間周波数) f に測定したい周波数を変換します。この中間周波数にバンドパスフィルタをかければ目的信号を選択できます。

十分低い固定の周波数に変換されるので、実際の検波処理・位相差検出はADCとソフトウェア処理で行えます。

ダイレクトコンバージョンを使ったタイプ

http://www.rigexpert.com/index?s=articles&f=aas

ヘテロダインの一種ですが、目的周波数自体と、位相差90度の信号を出力に合成して、I/Q 信号として直接 0Hz にコンバートします。実際の検波処理・位相差検出はADCとソフトウェア処理で行います。

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