fs/fp

VNA のポート1ポート2に直列で水晶発振子を繋いで、共振周波数付近をさがす。最もゲインが大きいところがfsで、小さいところがfpになる。

fs=9.9985Mhz
fp=10.0126Mhz

Rs

VNAのポート1に水晶発振子を繋いで、直列共振周波数 (fs) 付近で測る。fs 付近だと(共振しているので)水晶が純抵抗に近くなり精度が高くなる。

Rs=12.8Ω

原理

伝送路の損失を無視した場合、伝送路の特性インピーダンス と入力インピーダンス には を伝送路の電気長、 を負荷インピーダンスとすると以下のような関係がある

は波数

特に伝送路端がオープン () の場合

ショート() の場合

オープンの場合で電気長 が の場合、

ということでこのようなケースの場合は入力インピーダンスの虚部が特性インピーダンスと一致する。

伝送速度 のとき周波数 は なので、測定したいケーブルの長さを固定とすると周波数をうまく選んであげれば良いことになる。

ところで、電気長が の伝送路(オープン)は共振を起こす、つまりリアクタンスがゼロになる。共振点を探すのは周波数領域では簡単なので、まずこの共振点を探し、さらに周波数を半分にすることで電気長 が の条件を達成できる。

外挿の方法

• 周波数ステップの延長上に0Hzがくるように調整
• DC付近の数点から0Hzを推定

推定は簡単にいえば最低周波数が計測ステップ数と同じでなくてはならないということになる。

50kHz〜1.5GHz で計測するなら、1.5e9 / 50e3 = 30000点を計測ステップにしないといけない。がこれはさすがに計測点が多すぎて時間がかかるので、最低周波数を上げる必要がある。しかし最低周波数を上げてしまうとDC推定が困難になるという問題がある。

反射係数の応答は周波数ドメインでは振動している。周波数ステップが広すぎると、直近 n 個が増加傾向だからといって、次のステップでも同じように増加するとはあまりいえず、推定をはずすことが多くなる。なので、最低周波数は上げたくない。

1パスでの処理を諦めて、最低周波数付近だけを先にサンプリングして処理する方法も考えられる。VNA の下限周波数が 50kHz なら、50kHz、100kHz、150kHz を計測してDC推定し、3つの実測値は捨てる。そして測定開始周波数を最大周波数 / 計測点数にセットして全体をスキャンする。こうすればDC値と連続した計測点(n+1)がつくれる。

外挿の方法は自体は単純に、直近 3 個の増減の平均をとり、最初の点から線を延長する形でやるのがよさそうだ。

            nn = np.mean(np.diff(x[0:3]))
            dc = x[0] - nn
            data[0] = dc

DC外挿する

python を使って2パスで処理させてみる。前述のように 50kHz、100kHz、150kHz を計測してDC推定し、3MHz〜1.5GHz を 500 ポイント測定した結果に挿入する。実装は python/nanovna.py を変更する形で行なった。変更点

以下の3つのグラフは上から「DC付近の拡大 (周波数ドメイン)」「DC〜200MHzまで切り取り (周波数ドメイン)」「IFFT して積分したステップ応答(時間ドメイン)」

一番上のグラフにはDC外挿のために参照する3つの測定点(＋マーカー)と、外挿されたDCの値(☆マーカー)を表示している。

二番目のグラフはもう少し広い範囲を表示している。このグラフは外挿されたDC値を含む

(ちなみに101点でも別にそれほど変化はない)

ちょっと長いが一応グラフ出す手順を書いておく

        dcExtrapolation = True
        port = 0

        if dcExtrapolation:
            print("start:%d stop:%d points:%d" % (self.frequencies[0], self.frequencies[-1], self.points))
            nv.set_frequencies(int(self.frequencies[-1] / opt.points), opt.stop, opt.points)
            print("start:%d stop:%d points:%d" % (self.frequencies[0], self.frequencies[-1], self.points))

        data = nv.scan()
        x = data[port]
        # window = np.kaiser(len(x) * 2, 6.0)
        # x *= window[len(x):]
        nh = len(x) * 2
        NFFT = 2**(len(str(bin(nh)[2:])))
        print("num: %d, NFFT: %d" % (nh, NFFT))
        data = np.zeros(NFFT, dtype='complex128')

        fig = pl.figure(figsize=(8,10), dpi=100)

        ax1 = fig.add_subplot(3, 1, 1)
        ax1.set_ylim(-1.2, +1.2)
        ax1.set_xlim(0, 200e3)
        ax1.xaxis.set_major_formatter(EngFormatter(unit='Hz'))

        ax2 = fig.add_subplot(3, 1, 2)
        ax2.set_ylim(-1.2, +1.2)
        ax2.set_xlim(0, 200e6)
        ax2.xaxis.set_major_formatter(EngFormatter(unit='Hz'))

        ax3 = fig.add_subplot(3, 1, 3)
        ax3.set_ylim(-1.2, +1.2)
        ax3.set_xlim(0, 20e-9)
        ax3.axhline(y=0, color='grey')
        ax3.xaxis.set_major_formatter(EngFormatter(unit='s'))

        if dcExtrapolation:
            # DC extrapolation

            ## get vna lowest freq data 50kHz 100kHz 150kHz
            _start = self.frequencies[0]
            _end   = self.frequencies[-1]
            _points = self.points
            nv.set_frequencies(50e3, 50e3 * 3, 3)
            print(self.frequencies)
            expdata = np.array(nv.scan()[port])
            ax1.plot(self.frequencies, expdata.real[0:3], marker="+", label="measured real", markersize=10)
            ax1.plot(self.frequencies, expdata.imag[0:3], marker="+", label="measured imag", markersize=10)
            # restore
            nv.set_frequencies(_start, _end, _points)

            ## extrapolate from lowest 3 data points
            di = np.diff(expdata[0:3])
            print(di)
            nn = np.mean(di)
            dc = expdata[0] - nn
            ax1.plot([0], dc.real, marker="*", label="extrapolated real", markersize=10)
            ax1.plot([0], dc.imag, marker="*", label="extrapolated imag", markersize=10)

            # negative freq
            data[-len(x):] = np.conjugate(x)[::-1]
            # positive freq
            data[1:len(x)+1] = x
            ## data[0] is dc term
            data[0] = dc
        else:
            # dc + positive freq
            data[0:len(x)] = x
            # negative freq
            data[-len(x)+1:] = np.conjugate(x)[1:][::-1]

        step = self.frequencies[1] - self.frequencies[0]
        xaxis = np.concatenate([
            np.linspace(0, step * NFFT / 2, int(NFFT / 2)),
            np.linspace(-step * NFFT / 2, 0, int(NFFT / 2), endpoint=False)
            ])

        ax1.plot(xaxis, data.real, marker=".", color="lightgrey", label="real")
        ax1.plot(xaxis, data.imag, marker=".", color="lightgrey", label="imag")
        ax2.plot(xaxis, data.real, marker=".", label="real")
        ax2.plot(xaxis, data.imag, marker=".", label="imag")

        td = np.real(np.fft.ifft(data, NFFT))
        step = td.cumsum()
        print(self.frequencies[1] - self.frequencies[0])
        time = 1 / (self.frequencies[1] - self.frequencies[0])
        t_axis = np.linspace(0, time, NFFT)

        ax3.plot(t_axis, step, label="step response")
        # ax3.plot(t_axis, td,label="impulse response")

        ax1.legend( loc = 'lower right')
        ax2.legend( loc = 'lower right')
        ax3.legend( loc = 'lower right')

DC外挿しない

外挿しないので一番上のグラフには何も描かれていない。

単純に開始周波数を 50kHz として、その値をそのままDC値として利用する。イメージとしては中央のグラフが本来あるべきものより左に少しずつずれている。終了周波数は一緒

なお開始周波数を 500kHz 5MHz 10MHz と段階的に上げていくと以下のように崩れていく。

比較

別々に見ても違いがわからないので、外挿したケースと外挿せず50kHzをDCとみなすものの重ねあわせている。

確かに 50kHz と DC外挿をちゃんとやる場合とで若干差がみえる。が、-1 〜 +1 の範囲で見ている限りはかなり分かりにくい。